Wieso bekommst du keine Bezüge, wenn du krank bist?
Der Amtsarzt kann dich natürlich auch weiterhin für krank befinden. Das macht der auch, wenn du aus psychischen Gründen krank bist, nicht nur, wenn du den Kopf unterm Arm trägst.
Du musst ihm halt alles glaubwürdig schildern.
Geh wirklich mal mit deinen Fragen zum Personalrat. Ich denke, für dich als Ref gibt es einen eigenen Personalrat, ansonsten kannst du dich sicher auch an den Bezirkspersonalrat wenden.
Für mein Verständnis stehen dir für die Dauer deiner Erkrankung auch Bezüge zu. Du bist doch Beamtin auf Widerruf. Also müssten für dich auch die gleichen Rechte wie für Beamte gelten.
Noch mal zur Anerkennung deiner Krankheit durch den Amtsarzt: wer hat dich denn bisher krankgeschrieben? Es wäre sehr hilfreich, wenn du zu einem Facharzt gehen würdest. Burn Out als eigenständige Diagnose gibt es nicht, das stimmt. Wohl aber die Diagnose reaktive Depression. Und das ist schon eine ernstzunehmende Erkrankung.
Das einzige Problem, was ich für die Zukunft sehe, ist die Lebenszeitverbeamtung nach dem Examen. Aber da weißt du ja noch gar nicht, ob du wirklich in den Schuldienst willst. Ansonsten kann man wohl auch als Angestellte ganz gut leben. 
Mach dich nicht so verrückt, aber klär die Sachfragen.
Dann geh zu einem Facharzt für Psychiatrie.
Und nutz die Auszeit, um dir klarzuwerden, ob du im richtigen Beruf bist!
Ja, das Ref ist stressig. Das ist wohl auch so gewollt - eine doofe Belastungsprobe.
Mancher Druck fällt später weg, aber eben nicht aller!
Jetzt sind es Fachleiter, Mentoren, die dich nerven. Später möglicherweise Eltern, die dich angreifen, Stress durch die viel höhere Unterrichtsbelastung, Zusatzveranstaltungen, etc.
Viel leichter wird's nicht.
Nur der Prüfungsdruck entfällt.
Aber jetzt nimm dir erstmal die Zeit, wieder gesund zu werden. Ich glaube nicht, dass man dich rausschmeißen kann, wenn du krankgeschrieben bist.
Alles Gute!
Melo