Die Gleichungen
2+5x=z sowie 3+7y=z müssen das gemeinsame, ganzzahlige Ergebnis z haben.
Daraus folgt
2+5x= 3+7y
aufgelöst nach x ergibt sich
x=(1+7y)/5 - wobei nur ganzzahlige Lösungen zugelassen werden.
Das erste y , das diese Bedingung erfüllt, ist 2.... x ist dann 3
Eingesetzt in
2+5x=z
ergibt sich das erste gemeinsame z=17
Das nächste y , das diese Bedingung erfüllt {ganzzahliges Ergebnis bei x=(1+7y)/5 } ist 7.... x ist dann 10
Eingesetzt in
2+5x=z
ergibt sich das zweite gemeinsame z=52
Das nächste y , das diese Bedingung erfüllt, ist 12.... x ist dann 17
Eingesetzt in
2+5x=z
ergibt sich das dritte gemeinsame z=87
Die nächsten y sind dann ....17,22,27,32,37...
die nächsten x sind dann ....24, 31,38,45,52...
Fällt dir an diesen Reihen etwas auf? 
edit: Piksieben hat schneller getippt ... aber es freut mich, dass mein Lösungsweg bestätigt wird 