Grumpy, meinst du den offenen oder den gebundenen Ganztag?
Welches Bundesland (du schreibst vom Süden) ?
An meiner Grundschule (Bayern) wird der offene Ganztag am Nachmittag (Essen, Aufsichten, Hausaufgabenbetreuung, Spielzeit, viele AGs) nur von Externen gestemmt. Die Externen werden in der Regel dafür bezahlt - es sei denn sie kommen von einem Verein und wollen es unbedingt anbieten. Dafür verantwortlich ist ein Hauptträger und - so weit ich weiß ist auch der Förderverein irgendwie beteiligt.
Der gebundene Ganztag, den wir auch haben, wird vom Unterricht her am Nachmittag von Lehrern getragen.
Insgesamt sind ein paar wenige Lehrkräfte ins AG- Angebot für beide Ganztagesformen eingebunden, den Rest machen Externe. Als Problem hat sich bei Externen herausgestellt, die gerne einmal ihr Hobby den Schülern beibringen wollten, dass sie mit ziemlichen Disziplinproblemen zu kämpfen hatten - kein Wunder, wenn man das nicht gewohnt ist.
Aufsicht macht keine Lehrkraft am Nachmittag oder während der Mittagsschiene, wir, also die Lehrkräfte, haben vormittags eine begrenzte Morgenaufsicht und Pausenaufsicht, dazu die in Bayern an den Grundschulen üblichen Vorviertelstunden, die wie üblich zu den Dienstpflichten gehören und nicht aufs Deputat angerechnet werden.
An deiner Vermutung ist sicher etwas dran mit der Betreuung. An unserer Schule sind die ganzen Schienen mit einem großen Verwaltungsaufwand verbunden. Die Schulleitung stellt manchmal auch dafür selbst Personal ein. Außerdem müssen Disziplinmaßnahmen Vor- und Nachmittags abgesprochen werden - das ist manchmal ganz schön schwierig, da man nicht unbedingt gelerntes Personal bekommt. An Absprachen arbeitet meine Schule schon jahrelang und inzwischen gibt es dafür extra gemeinsame Konferenzen.