Ohne einen Pflegegrad kannst du kaum nachweisen, dass du zwingend über einen längeren Zeitraum beurlaubt werden musst zur Pflege deines Vaters. Die Freistellung in HH scheitert mutmaßlich aktuell also bereits daran (unbedingt dazu beraten lassen!). 16 Stunden sind auch keine kleine Nebentätigkeit mehr, sondern zumindest verglichen mit dem Deputat von Gymnasialkräften hier in BW eine 64%-Stelle. Das dürfte kaum genehmigungsfähig sein, wenn du dich umgekehrt in HH von deinen dienstlichen Pflichten freistellen lässt.
Ich kann ehrlich gesagt nichts lesen, was unter den von dir geschilderten Umständen für die Verbeamtung in HH spricht, aber einiges, was für die Kündigung in HH und die Neubwerbung in BW- sei es im Privatschuldienst, im öffentlichen Schulwesen mit Freistellung für den Privatschuldienst oder eben auch einfach direkt an einer staatlichen Schule- spricht. Wenn dein Vater noch so fit ist, dass er zwar Pflege benötigt, aber sich der Erhebung eines Pflegegrades verweigern kann, wäre es ja durchaus möglich, dass er noch am Leben ist, wenn du bereits ins pensionsfähige Alter kommst. In dem Fall hättest du am Ende von der Verbeamtung in HH nichts gehabt, außer dir das Leben letztlich unnötig schwerer als nötig zu machen.
Ich verstehe durchaus, dass man so eine Verbeamtung gerne mitnehmen würde, wenn sie möglich ist, aber in deinem Fall scheint sie aufgrund der von dir angedachten weiteren Lebensführung gerade nicht möglich zu sein. HH bietet dir wegen deines absoluten Mangelfachs die Verbeamtung an. Ohne Nachweis eines entsprechend hohen Pflegegrads wird HH dich sicherlich nicht direkt zur Pflege deines Vaters für mehrere Jahre freistellen und auf gar keinen Fall wird man es dir zugestehen dann auch noch mit einem deutlich überhälftigen Deputat hier in BW im Privatschuldienst tätig zu werden. Auch wenn klar ist, dass du aufgrund der Entfernung nicht einfach in HH reduzieren kannst zur Unterstützung deiner Eltern, wirst du in der Konstellation wohl bereit sein müssen den Preis zu zahlen, sprich wahlweise auf die Verbeamtung in HH zu verzichten oder einen anderen Weg zu finden, die Pflege deines Vaters aus der Ferne zu unterstützen (TZ und feste freie Tage Mo und Fr, damit du jede Woche runterfahren kannst????). Lass dich aber wie geschrieben unbedingt dazu von deiner Gewerkschaft beraten. Vielleicht sieht diese Veranlassung zu Optimismus für dich, weil die Rechtslage/Umsetzung in HH an der einen oder anderen Stelle großzügiger ist, als von mir vermutet.