Die nachlassenden feinmotorischen Fähigkeiten sieht man an jeder Schrift. Das würde ich eher nicht als Grund ansehen, die Grundschrift zu wählen, am Ende soll es ja eine (zumindest zum Teil) verbundene Handschrift sein.
Aber man muss in Klasse 2 keine vollkommen neue Schrift erarbeiten und einüben, was viel Zeit benötigt, die im Deutschunterricht unterzubringen ist, sondern kommt zu einem fließenderen Übergang, der die Grundformen der Grundschrift aufnimmt und davon ausgehend die Verbindungen übt.
Da würde ich bei den Lehrkräften viele verschiedene Herangehensweisen vermuten, ursprünglich gab es einen sehr offenen Umgang und eine kostenlose Kartei, mit der geübt werden konnte, nach wenigen Jahren gab es dann doch Arbeitshefte, ähnlich wie zu anderen Schreibschriften, in denen Buchstaben in unterschiedlichen Kategorien geübt werden (z.B. g, j, y mit Unterlängen, h, k, l mit Oberlängen, a, d, g, o mit runder Form und Schwierigkeiten im Übergang oder Deckungsstrichen). Das betrifft vorrangig das 2. Schuljahr.
Im 3.+4. Schuljahr wird unterschiedlich vielfältig und intensiv an der Schrift, der Leserlichkeit, der Schreibgeschwindigkeit gearbeitet, hinzu kommt spätestens dann, dass Schüler:innen ganze Sätze erlesen, sich merken und abschreiben, wobei man damit auch schon in Klasse 1 beginnen kann, sofern dies Schüler:innen möglich ist.
Die Umstellung auf eine gedruckte Schrift als Erstschrift erfolgte erheblich früher als Reaktion darauf, dass Kinder sonst in Klasse 1 zwei verschiedene Schriftsysteme zum Schreiben und Lesen erlernen mussten und viele Kinder nicht gut lesen konnten. Zwischendurch gab es auch Fibeln und vermehrt Kinderbücher in Schreibschrift.