Ich glaube, zu Deinen Fragen gibt es keine allgemeingültige Antwort, weil auch die Bezirksregierung - wie Du schreibst - keine Auskunft dazu gibt. Nachdem, was ich in SH mitbekommen habe, kann eine Versetzung von einem Tag auf den nächsten oder auch nach Monaten erfolgen oder sogar ein Jahr überschreiten. Das kommt immer auf die Umstände an.
Die Frage der Erkrankung während der Wiedereingliederung solltest Du unbedingt mit Deinen Vorgesetzten klären und Dir das nach Möglichkeit schriftlich geben lassen (also Mail an die Schulleitung und Antwort gut aufheben), damit Du eine rechtssichere Information hast. In der Praxis wird das unterschiedlich gehandhabt - wahrscheinlich wirst Du hier im Forum auch verschiedene Antworten erhalten.
Eine Diagnose musst Du Deinem Arbeitgeber nicht mitteilen. Wenn er Informationen diesbezüglich haben möchte, muss er den Amtsarzt einschalten. Wenn Du - wie viele andere auch - Dir einen Infekt o. ä. eingefangen hast, spricht natürlich nichts dagegen, wenn Du das kommunizierst. Vielleicht kommt eine gewisse Transparenz sogar positiv an. Wahrscheinlich weiß Deine neue Schule keine Einzelheiten zu Deiner Erkrankung, sondern hat nur den Wiedereingliederungsplan.
Auf jeden Fall wünsche ich Dir einen erfolgreichen Start in der neuen Schule 