Auf sich aufmerksam machen läuft in der Regel darüber, dass man jemanden kennt, der jemanden kennt. So bin ich auch auf meine Stelle aufmerksam geworden.
Bei der Bewerbung an sich wirkt sich das allenfalls insofern aus, als dass man sich schlauerweise ggf. mal bereits dort persönlich vorgestellt hat, dass man sich an Ort und Stelle über das Stellenprofil informiert hat und dann im Auswahlgespräch vorbereitet ist.
Dass viele Dinge von allein passieren, würde ich so pauschal nicht unterschreiben. WENN man natürlich erst einmal einen Fuß in der Tür hat, dann geht es von dort aus sicherlich auch ein bisschen leichert weiter.
Die Behörden mögen in der Regel keine "Schulflüchtlinge" und die Auswahlgespräche enthalten auch Fragen nach den Motiven, weshalb man zur Behörde will. Schulflüchtlinge entdecken die da recht schnell.
"Ich will nicht so viel unterrichten" sollte nicht das zentrale Motiv für eine Veränderung sein. Die Personalabteilung der Behörde dürfte diesbezüglich auch einiges an Erfahrung haben - mangelnde Motivation kann man den Leuten in meinem Umfeld, die aus der Schule kamen, nun weiß Gott nicht nachsagen.