Bei nicht mehr bestehender Elternzeit ab August würde ich natürlich Bezüge beziehen, und im August sind Ferien in Hessen. Die neue Elternzeit würde ich natürlich beantragen, dann aber ab dem Schuljahresbeginn. Aktuell scheint es sogar hinsichtlich der Bezüge (ich habe eine entsprechende Bezügemitteilung für August erhalten) so zu laufen und ich war erstaunt.
Ich glaube nicht, dass sich das irgendein Schulamt gefallen lässt. Würde wohl eher mal nachfragen, ob sie erwarten, dass du ihnen ab September wieder voll zu Verfügung stehst, weil beim AG-Wechsel der Rest Elternzeit verfallen ist.