Jo, kannst du gern machen. Auch wenn ich mich frage, wie du zu deiner Einschätzung kommst:
"Anders als bei den Lehrkräften im Beamtenverhältnis ist eine Genehmigung der Nebentätigkeit nicht vorgesehen"
Das kann man auch als generelle Versagung lesen - besonders bei den Sätzen, die im Anschluss folgen.
Auch der TV-L ist imho eindeutig:
ZitatTarifvertrag für den öffentlichen Dienst der Länder (TV-L) .
§ 3 Allgemeine Arbeitsbedingungen
....(4) 1Nebentätigkeiten gegen Entgelt haben die Beschäftigten ihrem Arbeitgeber rechtzeitig vorher schriftlich anzuzeigen. 2Der Arbeitgeber kann die Nebentätigkeit untersagen oder mit Auflagen versehen, wenn diese geeignet ist, die Erfüllung der arbeitsvertraglichen Pflichten der Beschäftigten oder berechtigte Interessen des Arbeitgebers zu beeinträchtigen. 3Für Nebentätigkeiten im öffentlichen Dienst kann eine Ablieferungspflicht nach den Bestimmungen, die beim Arbeitgeber gelten, zur Auflage gemacht werden.
Im oben angegebenen Link wird die Grenze der Genehmigungsfähigkeit auch mit max. 2 h pro Woche angegeben. (Maximale Arbeitszeit 10 h p.W.)