Als Nächstes würde ich mal das Gutachten anfordern.
Nach dem Widerspruch würde die Klage folgen. Jemand wird sich die Akte nochmal anschauen und abschätzen, ob sie vor Gericht eine Schlappe kassieren oder eben nicht. Es ist durchaus möglich, dass der Widerspruch Erfolg hat und ihr euch die Klage sparen könnt.
Die Copy/Paste-Fehler würde ich im Widerspruch mit erwähnen und alle Belege/Schreiben des Arztes mit beifügen und darauf im Schreiben verweisen.
Auch, wenn es an sich klar sein sollte: Unbedingt darauf achten, dass die Form eingehalten wird. Datum und Unterschrift und das Ganze innerhalb eines Monats an die Beihilfestelle. Am besten per Einwurfeinschreiben (Sendungsnummer aufbewahren), damit man einen Nachweis hat. Wenn ihr mehr Zeit für die Begründung braucht, könnt ihr auch zunächst widersprechen mit dem Hinweis, dass ihr die Begründung nachreicht.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass Widersprüche bei der Beihilfe erst nach vielen Monaten bearbeitet werden. Am besten im Schreiben selbst und auch nochmal telefonisch darauf drängen, dass der Widerspruch zeitnah bearbeitet wird. Wenn drei Monate vergangen sein sollten, direkt Untätigkeitsklage ankündigen mit einer Fristsetzung.
Sollte weiterhin die Zahlung verweigert werden, habt ihr wieder genau einen Monat Zeit, Klage beim Verwaltungsgericht einzureichen. Anwaltszwang gibt es zwar nicht in erster Instanz, macht es aber natürlich für euch einfacher.
Ich würde mal auf gut Glück probieren, den Ablehnungsbescheid der Beihilfe bei der PKV einzureichen. Vllt. besteht ja doch irgendwie eine Möglichkeit, dass etwas über den Beihilfeergänzungstarif bezahlt wird? Vermutlich nicht, kostet aber auch nichts, es zu probieren.