Auch bei der Einstellung sind Lehrpersonen ohne volle Lehrbefähigung je nach Privatschule (plus Fragen der Anerkennung plus Fächeraspekten plus der Versorgung) ggf. nur (sehr) nachrangig von Interesse.
In Nordrhein-Westfalen können Personen ohne zweites Staatsexamen immer nur befristet eingestellt werden. Was möglich ist, ist eine dem 2. Staatsexamen analogeFeststellungprüfung. Ich habe aber schon mehrere Kollegen gehabt, die das angestrebt haben und entweder nicht bestanden oder vorher aufgegeben haben. Ich würde dir in jedem Fall ein Referendariat und das normale 2. Staatsexamen empfehlen, wenn du langfristig als Lehrkraft arbeiten möchtest.