Noch einmal: "Dienstreisen aus Anlass der Begleitung von Schulfahrten dürfen nur im Rahmen der zur Verfügung stehenden Reisekostenmittel (Landesmittel zuzüglich Drittmittel) genehmigt werden."
So, die Dienstreise ist im Vorfeld genehmigt worden. Also standen die Reisekostenmittel natürlich zur Verfügung, denn sonst wäre die Fahrt eben nicht genehmigt worden. Folgerichtig hat die Schule auch die Reisekostenmittel zur Verfügung. Es sei denn, jemand hat "freiwillig" schriftlich auf die Erstattung verzichtet.
Jede innerschulische Regelung, die den "Vorschuss" eines Mitfahrers vor der Genehmigung einrechnet, um die Kosten zu deckeln, ist nicht gesetzeskonform. Wenn die Kosten mangels Kulanz der Vertragspartner, wie du sagst, für die Fahrt entstanden sind, sind sie auch aus den Verfügung stehenden Mitteln bezahlt worden und müssten dir eigentlich erstattet werden.
Wie die Kommunikation mit deiner Schulleitung zu laufen hat, sollte dein Personalrat wissen.