Ja, man kann eine Verbeamtung ablehnen, aber man hat keine Garantie, dass man später noch einmal die Möglichkeit bekommt.
Ich würde dringend davon abraten, solche Spielchen zu spielen, die Verhältnisse an Privatschulen sind bekanntermaßen so wie von dir beschrieben und werden sich auch nicht ändern, nein, auch nicht, wenn die Schulleitung irgendwann man wechselt oder sonst irgendwas passiert.
Entweder, du möchtest das für dich nicht, dann zieh die Konsequenzen und such dir eine andere Stelle und zwar jetzt, so lange die Bewerberlage gerade noch günstig für dich ist, oder du akzeptierst die Situation wie sie ist und siehst zu, dass du die Verbeamtung möglichst schnell bekommst (die ja auch etwas mit Jobsicherheit zu tun hat und der Frage, wie leicht man unter Druck gesetzt werden kann, wenn man etwas macht was der Schulleitung nicht passt).