Ich glaube, du bist nicht verpflichtet, diese Fahrt mit dem privaten Kraftwagen zu unternehmen. Tut man diese allerdings, kann es passieren, dass dir nur die kürzeste Strecke erstattest wird. Fährst du über die Autobahn, damit die Zeit reicht, kann es passieren, dass du das extra begründen musst.
Da du dir um die Zeit sorgen machst, wird wohl das Ausfüllen der Fahrtkostenanträge nebst Widersprüchen mehr Zeit in Anspruch nehmen als die Fahrerei daselbst.
Ich würd's mal so sehen: in der Zeit in der du von A nach B fährst, kannst du nichts anderes machen. Du musst die Zeit, die dafür drauf geht, woanders einsparen. Es bleibt also etwas liegen.