musste
IMHO ist das kein "müssen".
Natürlich fragt man Teilzeitkräfte zuerst, ob sie aufstocken können. Aber im laufenden Betrieb müssen sie es nicht.
("Müssen" gäbe es nur beim Teilzeilzeitantrag. Das könnte der Schulleiter sagen "aus schulischen Gründen geht es nicht". Aber das müssen dann auch gewichtige Gründe sein.)