Das ist dadurch aber keine städtische Schule, sondern trotzdem eine staatich anerkannte Ersatzschule mit einem Trägerverein. Es gibt städtische Beamte, aber in der Regel nicht im Bereich von Lehrkräften, wenn man von exotischen Fällen wie dem Beispiel oben in Bayern absieht. (Und da wird man dann auch nicht so ganz flexibel an eine andere Schule mit Beschäftigungsverhältnis beim Land wechseln können)
Wenn die "Planstellen" die von mir oben beschriebenen Beamtenstellen zur Abordnung an anerkannte Ersatzschulen sind, ist ein Wechsel relativ problemlos möglich. Auch welchsel vom Status des Kirchenbeamten zum staatlichen Beamten beim Bundesland sind meines Wissens nach möglich, wenn der alte und neue Dienstherr einverstanden sind, aber zuverlässig und unkompliziert ist nichts davon.