E13 kriegen nur "Erfüller", ohne 2. Staatsexamen erhält man in Sachsen, soweit mir bekannt, kein E13. Als Verhandlungsgrundlage kann man es aber vielleicht nehmen, immerhin ist man in 2 Fächern einsetzbar.
In Hessen genauso, mit Glück bekommt man E12, aber normalerweise E11. Mehr geht nicht, bzw. nur nach sehr vielen Jahren und entsprechend Glück mit der personalführenden Dienststelle kann man auf E13 kommen
Das Studium (1. Staatsexamen) habe ich abgeschlossen...
richtig, aber du hast keine Laufbahnbefähigung und auch nicht deine Ausbildung zur Lehrkraft abgeschlossen.
In dieser Zeit möchte ich gern an einer nichtstaatlichen Schule (freier Träger) unterrichten.
Der freie Träger darf dir natürlich mehr bezahlen, aber auch weniger. Typischerweise mindestens 80% des üblichen Gehalts, in deinem Fall also mindestens 80% von E11.