Die Frage, die ich mir stelle, ist das Ziel.
1. Wenn das einfach nur der Wunsch ist, sich ins wissenschaftliche Arbeiten in einem interessanten Thema zu vertiefen, also ein privater Wunsch ist, dann machst du das berufsbegleitend. Die Schule oder das System oder die Hochschule hätten dann ja nix davon, was eben eine Abordnung erschwert.
2. Wenn du das Ziel hast (ähnlich wie 1) bspw. durch die Promotion für andere "höherwertige" Jobs (Studienseminar, Schulleitung, Ministerium...) besser qualifiziert zu sein (auch im Sinne von qualifizierter wahrgenommen), dann ist es irgendwie auch Privatvergnügen und berufsbegleitend wohl nur möglich, da von extern nicht als so wichtig gesehen.
Zu diesen beiden Punkten: Unis/Lehrstühle haben in der Regel eigene Forschungsschwerpunkte, die sie vertiefen wollen. Wenn man von außen kommt mit einem eigenen Forschungsziel, das nicht so richtig ins Portfolie passt, ist es unwahrscheinlich, dass dafür in der Uni Raum geschaffen wird (auch wenn das Projekt für dich als vielversprechend gilt, passt es eben nicht unbedingt zum Forschungsschwerpunkt). Da ist die Betreuung außerhalb berufsbegleitend etwas wahrscheinlicher (zwei Fälle kenne ich).
3. Wenn du das Ziel hast, an der Uni in Forschung und Lehre zu landen: Da ist häufig der direkte Weg nach dem Studium weiter an der Uni üblich, weil man da schon im Uni-System drin ist und wahrgenommen wurde. Wenn du jetzt schon einige Jahre als Lehrerin im Schul-System arbeitest, ist dieser direkte Kontakt an die Uni abgerissen. Ein möglicher Weg wäre da - den kenne ich in RLP - dass du eine Abordnung zur bspw. fachdidaktischen Mitarbeit an die Uni suchst (die dann ja noch nicht mit einer Promotion verbunden ist) und über diesen Kontakt versuchst, in die Uni-Schiene/Promotion durch die Kontakte hereinzufinden. Solche Abordnungsstellen werden in unserem BL regelmäßig ausgeschrieben.