In Hessen gibt es das QuisHR-Programm.
Die Schule kann dort Ausschreibungen veröffentlichen, auf die du dich bewerben kannst. Allerdings scheint nach deinem Beitrag die Schulleitung nicht wirklich interessiert zu sein.
Wenn du nicht unbedingt verbeamtet werden möchtest, sondern nur eine sichere, unbefristete Stelle anstrebst und dir der Job anders nicht infrage kommt, würde ich an deiner Stelle klagen.
Entfristungen sind in solchen Situationen nicht unwahrscheinlich, und eine dauerhafte Befristung ist an bestimmte Bedingungen geknüpft.
Ein Arbeitgeber darf dich höchstens zwei Jahre sachgrundlos befristet einstellen. Danach muss ein sachlicher Grund vorliegen.
Wenn Person A beispielsweise Mathematik unterrichtet, du aber für Englisch eingestellt wirst, besteht kein sachlicher Grund – und du wirst für genau den Umfang, den du derzeit unterrichtest, entfristet.
Auch bei sogenannten Ringvertretungen gilt das:
Wenn Person A Mathematik unterrichtet und Person B diese Person vertritt, muss Person B dieselben Stunden übernehmen. Gleichzeitig muss auch Person A die gleichen Fächer von Person B übernommen haben.
Diese Situationen werden oft komplizierter dargestellt, als sie sind. Sie lassen sich leicht nachweisen, wenn du einen Überblick hast, welche Kolleginnen und Kollegen welche Fächer unterrichten.
Deshalb solltest du zuerst prüfen, wen du eigentlich vertrittst, und herausfinden, ob diese Person dieselben Fächer unterrichtet, die du momentan gibst.
Auch die Anzahl der vertretenen Stunden ist wichtig: Wenn Person A mit 20 Stunden ausfällt, du aber 23 Stunden unterrichtest, gilt dein Vertrag als unbefristet.
Unbefristet bist du außerdem, wenn du vor der Unterzeichnung einer Vertragsverlängerung bereits ganz normal an der Schule arbeitest und deinem Dienst nachgehst, dann gilt das Arbeitsverhältnis automatisch als unbefristet.
Bewerte deine Situation noch einmal sorgfältig und lass dich von einem Anwalt mit Rückgrat beraten.