Ich stimme dir zu, dass die Erfolgsausichten vermutlich eher gering sind und der Rotstift im eigenen Hause Mittel der ersten Wahl sein sollte, aber wäre die Mehrarbeit nicht genehmigt bzw. angeordnet, wenn der SL die geleisteten Stunden monatlich unterzeichnet?
So einfach dürfte das nicht sein. Meines Erachtens gibt es hier gleich mehrere Hindernisse:
1) Beamte sind überhaupt nur dann zur Arbeit über die regelmäßige wöchentliche Arbeitszeit hinaus verpflichtet, wenn zwingende dienstliche Verhältnisse dies erfordern und sich die Mehrarbeit auf Ausnahmefälle beschränkt.
Daraus folgt auch, dass die eigenverantwortliche Überschreitung der Arbeitszeit nicht aus einer Pflicht heraus erfolgt und keine Mehrarbeit auslöst.
Darüber hinaus wäre zu prüfen, ob denn wirklich zwingende dienstliche Verhältnisse vorliegen (siehe 2.) oder ob sich die Überschreitung nicht anderweitig vermeiden ließe.
2) Mehrarbeit liegt gerade dann nicht vor, wenn Beamte innerhalb eines Zeitrahmens Dienstbeginn und Dienstende selbst bestimmen können.
Es liegt im Wesen unserer Tätigkeit, dass ein gewisser Anteil ungebundener Arbeitszeit dabei ist. Gerade deren Überschreitung stellt i.A. aber keine Mehrarbeit dar, wie oben bereits beschrieben. Mehrarbeit liegt bei uns Lehrkräften i.d.R. vor, wenn aus zwingenden dienstlichen Gründen das Pflichtdeputat für eine gewisse Zeit überschritten wird. Typisch dafür sind Langzeitvertretungen.
3) Es müsste geklärt werden, wer überhaupt berechtigt ist, Mehrarbeit im engeren Sinne anzuordnen. Je nach Bundesland (über welches sprechen wir denn hier?) ist das nämlich gerade nicht der Schulleiter, sondern die übergeordnete Behörde als Dienstvorgesetzte.
4) Aus der Dienst- und Treuepflicht von dir als Beamten lässt sich auch eine Pflicht zur Meldung unverhältnismäßiger Arbeitsbelastungen an den Dienstherrn ableiten, die gerade darauf zielt, behördenintern Mängel in der personellen Organisation zu verdeutlichen. In dieser Situation wäre m.E. eine Überlastungsanzeige zu stellen, die v.a. dazu dient, den derzeitigen Missstand aktenkundig zu dokumentieren, wenn intern in Rücksprache mit der SL nicht bereits eine Lösung gefunden werden kann. Dann wird sich die übergeordnete Behörde damit beschäftigen müssen, Erleichterungen zu schaffen, den Wegfall bestimmter Prozesse anzuordnen oder im Ausnahmefall wirklich Mehrarbeit anzuordnen.
PS: Da die Überlastungsanzeige idealerweise auch auf den aktuellen Arbeitsanfall, Art und Umfang der Überlastung usw. eingeht, ist die persönliche Dokumentation der Arbeitszeit so oder so ein sinnvoller (Zwischen-)Schritt, wie ich bereits beschrieben habe. Diese löst aber noch keine Zahlungspflicht des Landes aus.