Ja, die Kosten der Untersuchung muss man selbst tragen, da man diese für die erfolgreiche Bewerbung um den Refplatz oder eben ggf. die Planstelle benötigt.
Also bei mir in NRW hat der Dienstherr die komplette Amtsärztliche Untersuchung bezahlt. Sie fand ja auch im Kreis-Gesundheitsamt statt und war der Musterung im Kreiswehrersatzamt nicht unähnlich. Das war damals nur etwas komplizierter, weil die Amtsärztin mich noch zu diversen Fachärzten geschickt hat, um Gutachten einzuholen, also Belastungs-EKG, Augenarzt, ...
Die Fachärzte haben mich zwar schief angeguckt, als ich mich vorgestelt habe: "Schönen guten Tag, das Gesundheitsamt schickt mich...", aber gezahlt habe ich da nie etwas.
Ich war damals nur etwas angefressen, weil eine andere angehende Beamtin nach 30 Minuten mit der Untersuchung durch war und sich bei mir die ganze Sache über 2 Wochen hinzog dank der ganzen externen Gutachten.
Letzte Worte der Amtsärztin: "Wer bei mir besteht, bekommt die Verbeamtung, wer es nicht schafft, wird angestellt nach TV-L."